3482
правки
Изменения
м
В качестве Нулевой гипотезой (<math>H_0</math> ) для всех нижеприведённых критериев является предположение, что «случайная величина <math>X</math> распределена нормально».
==== Пакет <code>stats</code> ==== В данном пакете реализованы две функции, которые позволяют осуществить проверку принадлежности R реализовано множество критериев проверки соответствия распределения нормальному закону. * <code>shapiro.test</code> - критерий Шапиро - Уилка* <code>ks.test</code> - критерий Колмогорова - Смирнова<ref>Для оценки нормальности вызов выглядит следующим образом:<code>ks.test(x, y = "pnorm")</code></ref> Данные функции возвращают результат в виде S3-класса - <code>htest</code>. ==== Пакет <code>nortest</code> ==== В данный пакет входят следующие функции: * <code>ad.test</code> - критерий Андерсона - Дарлинга* <code>cvm.test</code> - критерий Крамера - фон Мизеса* <code>lillie.test</code> - критерий Лиллиефорса* <code>pearson.test</code> - критерий <math>\chi^2</math> Пирсона* <code>sf.test</code> - критерий Шапиро - Франчия Данные функции возвращают результат в виде S3-класса - <code>htest</code>. ==== Пакет <code>moments</code> ==== В данный пакет входят следующие функции: * <code>agostino.test</code> - критерий Д'Агостино* <code>bonett.test</code> - критерий Бонетта – Сайера* <code>jarque.test</code> - критерий Жарка-Бера Данные функции также возвращают результат в виде S3-класса - <code>htest</code>.
В данном пакете не предлагается никакой оригинальной реализации критериев {| class="wide wikitable sortable" style="text- код в основном заимствован из пакетов align: center"! Критерии !! {{r-package|stats|core=true}} !! {{r-package|nortest}} !! {{r-package|moments}} !! {{r-package|fBasics}} !! {{r-package|tseries}} !! {{r-package|lawstat}}|-| style="text-align: left" | Критерий Шапиро - Уилка || <code>statsshapiro.test</code>, || - || - || <code>nortestshapiroTest</code>|| - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Колмогорова - Смирнова || <code>ks.test</code><ref>Для оценки нормальности вызов выглядит следующим образом: <code>ks.test(x, y = "pnorm")</code>moments.</ref> || - || - || <code>ksnormTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Андерсона - Дарлинга || - || <code>ad. Данный пакет предлагает альтернативный вывод результатов в виде объекта S4test</code> || -класса || <code>fHTESTadTest</code>, в том время как все предыдущие функции использовали S3|| - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Крамера - фон Мизеса || -класс || <code>htestcvm.test</code>|| - || <code>cvmTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Лиллиефорса || - || <code>lillie.test</code> || - || <code>lillieTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий <math>\chi^2</math> Пирсона || - || <code>pearson.test</code> || - || <code>pchiTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Шапиро - Франчия || - || <code>sf.test</code> || - || <code>sfTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Д'Агостино || - || - || <code>agostino.test</code> || <code>dagoTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Бонетта – Сайера || - || - || <code>bonett.test</code> || - || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Жарка - Бера || - || - || <code>jarque.test</code> || <code>jarqueberaTest</code> || <code>jarque.bera.test</code> || <code>rjb.test</code>|}
Функция Пакет {{r-package|fBasics}} содержит также функцию <code>normalTest()</code> , которая является «обёрктой» для ряда функций из того же пакета - <code>fBasics</code>. Задать необходимый Необходимый критерий можно задать с помощью аргумента <code>method</code>. Доступны следующие критерии:
Помимо функции <code>normalTest()</code> данный пакет включает в себя следующие функции: * <code>shapiroTest</code> - критерий Шапиро - Уилка* <code>ksnormTest</code> - критерий Колмогорова - Смирнова<ref>Данная функция вызывает <code>ks.test(x, "pnorm")</code> для трёх альтернативных гипотез - двусторонней и двух односторонних.</ref>* <code>jarqueberaTest</code> - критерий Жарка-Бера* <code>dagoTest</code> - критерий Д'Агостино* <code>adTest</code> - критерий Андерсона - Дарлинга* <code>cvmTest</code> - критерий Крамера - фон Мизеса* <code>lillieTest</code> - критерий Лиллиефорса* <code>pchiTest</code> - критерий Пирсона* <code>sfTest</code> - критерий Шапиро - Франчия Данные функции также возвращают результат в виде S4-класса - <code>fHTEST</code>. ==== Пакет <code>TeachingDemoslawstat</code> ==== Данные пакет содержит только одну также функцию, имеющую отношение к критериям проверки принадлежности распределения нормальному закону - <code>SnowsPenultimateNormalityTestsj.test()</code>. Данная функция возвращают результат в виде S3-класса - <code>htest</code>. ==== Пакет <code>tseries</code> ==== Данный пакет содержит только одну функцию, имеющую отношение к критериям проверки принадлежности распределения нормальному закону - <code>jarque.bera.test</code>, которая является реализацией рабастного критерия Жарканормальности, созданного на основа критерия Шапиро -БераУилка. Данная функция возвращают результат в виде S3-класса - <code>htest</code>. ==== Пакет <code>lawstat</code> ==== В данный пакет входят следующие функции:
* Пакет <code>rjb.testTeachingDemos</code> - критерий Жарка-Бера* содержит функцию <code>sj.testSnowsPenultimateNormalityTest()</code> - SJ-, реализующую неописанный в литературе критерий. Данная функция возвращает только уровень статистической значимости, свидетельствующий об отклонения распределения от нормального закона.
Ещё один интересный способ графического анализа представлен функцией Перед началом обзора функций, реализующий критерии проверки многомерной нормальности, сгенерируем массив данных. Сделать это можно при помощью следующих функций * <code>histDistmvrnorm</code> из пакета <code>gamlssMASS</code>* <code>rmvnorm</code> из пакета <code>mvtnorm</code>* <code>rmnorm</code> из пакета <code>mnormt</code> Вот пример кода, генерирующего массив данных, имеющих многомерное нормальное распределение:
Family: cПакет {{r-package|mvnormtest}} реализует модификацию критерия Шапиро - Уилка для многомерных данных - функция <code>mshapiro.test("NO", "Normal") Fitting method</code><ref>В качестве аргумента необходимо передать транспонированную матрицу: "nlminb" <code>mshapiro.test(t(mx))</code>.</ref>.
CallПакет {{r-package|ICS}} предлагает реализацию критериев эксцесса и асимметрии для многомерных данных: gamlssML<code>mvnorm.kur.test(y = y)</code>, family = "NO", formula = x<code>mvnorm.skew.test() </code>.
Mu Coefficients:[1] Пакет {{r-0package|energy}} реализует E-статистики для сравнения распределений. Критерия для проверки гипотезы о соответствия распределения многомерной переменной многомерному нормальному распределению предлагается функция <code>mvnorm.etest()</code><ref>Для вычисления уровня значимости критерия используется метод бутстрепа (bootstrap). Число итераций для бутстрепа можно задать с помощью аргумента <code>R</code>.2273Sigma Coefficients:[1] 0</ref>.09813
Degrees of Freedom for the fit: 2 Residual Deg. of Freedom 98 Global Deviance: 303.414 AIC: 307.414 SBC: 312.624 }}== Ссылки ==
[[Файл* Juergen Gross and bug fixes by Uwe Ligges (2012). nortest:gamlssTests for Normality. R package version 1.0-histdist2.svg|400px|центр]]*: http://CRAN.R-project.org/package=nortestС помощью аргумента <* Lukasz Komsta and Frederick Novomestky (2012). moments: Moments, cumulants, skewness, kurtosis and related tests. R package version 0.13.*: http://CRAN.R-project.org/package=moments* Diethelm Wuertz, Rmetrics core team members, uses code>family<builtin from the following R contributed packages: gmm from Pierre Chauss, gld from Robert King, gss from Chong Gu, nortest from Juergen Gross, HyperbolicDist from David Scott, sandwich from Thomas Lumley, Achim Zeileis, fortran/C codefrom Kersti Aas and akima from Albrecht Gebhardt (2013). fBasics: Rmetrics - Markets and Basic Statistics. R package version 3010.86.*: http://CRAN.R-project.org/package=fBasics* Adrian Trapletti and Kurt Hornik (2013). tseries: Time Series Analysis and Computational Finance. R package version 0.10-32.*: http://CRAN.R-project.org/package=tseries* Joseph L. Gastwirth; Yulia R. Gel <ygl@math.uwaterloo.ca> можно задать семейство распределений для подгонки и сравнения; W. L. Wallace Hui <refwlwhui@uwaterloo.ca>Более подробную информацию о доступных семействах распределений можно получить с помощью команды ; Vyacheslav Lyubchich <codevlyubchich@uwaterloo.ca>; Weiwen Miao <miao@macalester.edu>; Kimihiro Noguchi <kinoguchi@ucdavis.edu>help("gamlss2013).family"lawstat: An R package for biostatistics, public policy, and law. R package version 2.4.1.*: http://CRAN.R-project.org/package=lawstat* John Fox and Sanford Weisberg (2013)<. car: Companion to Applied Regression. R package version 2.0-19/code>r346.<*: http:/ref>/R-Forge.R-project.org/projects/car/* Mikis Stasinopoulos, Bob Rigby with contributions from Calliope Akantziliotou and Vlasios Voudouris (2014). gamlss: Generalised Additive Models for Location Scale and Shape. R package version 4.2-7.*: http://CRAN.R-project.org/package=gamlss* Riyan Cheng (2013). QTLRel: Tools for mapping of quantitative traits of genetically related individuals and calculating identity coefficients from a pedigree. R package version 0.2-14.*: http://CRAN.R-project.org/package= Многомерное нормальное распределение =QTLRel* David Meyer, Evgenia Dimitriadou, Kurt Hornik, Andreas Weingessel and Friedrich Leisch (2014). e1071: Misc Functions of the Department of Statistics (e1071), TU Wien. R package version 1.6-2.*: http://CRAN.R-project.org/package=e1071
→Сравнительная таблица реализации критериев в пакетах
== Одномерное нормальное распределение ==
Для демонстрации работы функций, реализующий реализующих различные критерий критерии проверки принадлежности распределения нормальному закону сгенерируем вектор случайных чисел, имеющих стандартное нормальное распределение:
{{r-code|code=<nowiki>> x <- rnorm(n = 1001000)
</nowiki>
}}
=== Статистические критерии ===
==== Пакет <code>fBasics</code> Сравнительная таблица реализации критериев в пакетах ====
* <code>sw</code> - критерий Шапиро - Уилка
Пример вызова данной функции:
{{r-code|code=<nowiki>> normalTest(x, method = "sw")
Title:
}}
==== Маленькие хитрости ====
С помощью <code>apply</code>-функций можно последовательно применить функцию к вектору, списку или массиву. Прежде чем всего нам необходимо сформировать таблицу данных. С помощью функции <code>replicate()</code> сгенерируем 10 переменных, имеющих стандартное нормальное распределение, которые объединяются в класс <code>data.frame</code>.
{{r-code|code=<nowiki>> DF <- data.frame(replicate(n = 10, rnorm(n = 100)))
</nowiki>
}}
Структура сгенерированной таблицы выглядит следующим образом:
{{r-code|code=<nowiki>> str(DF)
'data.frame': 100 obs. of 10 variables:
$ X1 : num 1.051 1.08 -0.477 -1.396 3.423 ...
}}
Для решения поставленной задачи можно воспользоваться функцией <code>sapply()</code>. Но прежде, нам необходимо немного отформатировать формат вывода результатов нашей функции: нам нужно извлечь значения критерия и его уровень значимости, т.к. результат функции <code>shapiro.test()</code> содержит также информацию, которая не подлежит включению в итоговую таблицу, например, информация об используемом методе (критерии) и уточнение характера альтернативной гипотезы.Вывод результатов тест Шапиро - Уилка выглядит следующим образом:
{{r-code|code=<nowiki>> shapiro.test(x)
Shapiro-Wilk normality test
Структура результата применения функции <code>shapiro.test()</code> представлена ниже:
{{r-code|code=<nowiki>> str(shapiro.test(x))
List of 4
$ statistic: Named num 0.99
Как видим, помимо значений критерия и уровня значимости здесь содержится информация о применяемом методе. Мы можем отфильтровать вывод следующим образом:
{{r-code|code=<nowiki>> normTest <- function (x) {
+ res <- shapiro.test(x)
+ return(c(res$statistic, p.value = res$p.value))
Результат теперь будет выглядеть следующим образом:
{{r-code|code=<nowiki>> normTest(x)
W p.value
0.9903 0.6882
Теперь можно использовать данную функцию при обработке столбцов нашей таблицы.
{{r-code|code=<nowiki>> t(sapply(DF, normTest))
W p.value
X1 0.9831 0.2301
Того же результата можно добиться и с помощью функции <code>lapply()</code><ref>По результатам сравнения производительности, данный вариант оказался чуть быстрее предыдущего.</ref>:
{{r-code|code=<nowiki>> do.call(rbind, lapply(DF, normTest))
W p.value
X1 0.9831 0.2301
{{r-code|code=
<nowiki>> DF$GRP <- factor(sample(LETTERS[1:3], size = 100, replace = TRUE))</nowiki>
}}
{{r-code|code=
<nowiki>> table(DF$GRP)
A B C
38 25 37 </nowiki>
}}
{{r-code|code=
<nowiki>> do.call(rbind, tapply(DF$X1, DF$GRP, normTest))
W p.value
A 0.9522 0.13281
B 0.9607 0.28697
C 0.9410 0.07256</nowiki>
}}
=== Графические методы ===
Многие исследователи также используют графические методы для определения степени отклонения распределения от нормального закона. В R реализована возможность построения Q-Q и P-P графиков, гистограмм и кривых распределения плотности вероятностейплотностей вероятности.
==== Гистограмма ==== Гистограмма представляет собой графическое изображение зависимости частоты попадания элементов выборки от соответствующего интервала группировки. Построить гистограмму в R можно с помощью следующей команды: {{r-code|code=<nowiki>> hist(x)</nowiki>}} [[Файл:Graphics-hist.svg|400px|центр]] На гистограмме изображены абсолютные частоты. Также можно построить гистограмму, отражающую плотности вероятностей: {{r-code|code=<nowiki>> hist(x, freq = FALSE)</nowiki>}} [[Файл:Graphics-hist-probs.svg|400px|центр]] ==== График плотностей вероятности ==== ===== Пакет <code>stats</code> ===== {{r-code|code=<nowiki>> plot(density(x))</nowiki>}} [[Файл:Stats-density.svg|400px|центр]] ===== Пакет <code>car</code> ===== {{r-code|code=<nowiki>> densityPlot(x)</nowiki>}} [[Файл:Car-densityPlot.svg|400px|центр]] ==== Гистограммы с наложением графика плотностей вероятнотси ==== ===== Пакет <code>stats</code> ===== {{r-code|code=<nowiki>> hist(x, freq = FALSE)> lines(density(x))</nowiki>}} [[Файл:Stats-hist-density.svg|400px|центр]] Теперь наложим на наш график кривую плотностей вероятности для нормального распределения: {{r-code|code=<nowiki>> xfit <- seq(min(x), max(x), length = 100) # Координаты по оси X> yfit <- dnorm(xfit, mean = mean(x), sd = sd(x)) # Вычисление координат по оси Y> hist(x, freq = FALSE)> lines(density(x), col = "red") # Накладываем кривую плотностей вероятности> lines(xfit, yfit, col = "blue") # Накладываем «нормальную» кривую</nowiki>}} [[Файл:Stats-density-compare.svg|400px|центр]] ===== Пакет <code>gamlss</code> ===== Более простой способ сравнение графиков плотностей вероятности представлен в функции <code>histDist</code> из пакета <code>gamlss</code>: {{r-code|code=<nowiki>> histDist(x, family = "NO", density = TRUE) Family: c("NO", "Normal") Fitting method: "nlminb" Call: gamlssML(y = y, family = "NO", formula = x) Mu Coefficients:[1] -0.0462Sigma Coefficients:[1] 0.023 Degrees of Freedom for the fit: 2 Residual Deg. of Freedom 998 Global Deviance: 2884 AIC: 2888 SBC: 2898</nowiki>}} [[Файл:Gamlss-histdist.svg|400px|центр]] С помощью аргумента <code>family</code> можно задать семейство распределений для подгонки и сравнения<ref>Более подробную информацию о доступных семействах распределений можно получить с помощью команды <code>help("gamlss.family")</code>.</ref>. ==== Q-Q график ==== Q-Q график (Q - квантиль) — это график, на котором квантили из двух распределений расположены относительно друг друга. Чем ближе точки на графике к диагональной прямой, тем ближе распределение исследуемой переменной к нормальному закону. Построение квантильных графиков в R реализовано в нескольких пакетах. ===== Пакет <code>stats</code> =====
Построение Q–Q plot с помощью пакета <code>stats</code> выглядит следующим образом:
{{r-code|code=
<nowiki>> qqnorm(x)> qqline(x)</nowiki>
}}
[[Файл:Stats-qqnorm.svg|400px|центр]]
===== Пакет <code>QTLRel</code> =====
Построение Q–Q plot с помощью пакета <code>QTLRel</code> выглядит следующим образом:
{{r-code|code=
<nowiki>> qqPlot(x, x = "norm")</nowiki>
}}
[[Файл:Qtlrel-qqplot.svg|400px|центр]]
===== Пакет <code>car</code> =====
Альтернативный вариант реализован в функции <code>qqPlot()</code> из пакета <code>car</code>:
{{r-code|code=
<nowiki>> qqPlot(x, distribution = "norm")</nowiki>
}}
[[Файл:Car-qqplotqqPlot.svg|400px|центр]]
===== Пакет <code>e1071</code> =====
Построение PQ-P Q plot можно осуществить с помощью функции <code>probplot</code> из пакета <code>e1071</code>:
{{r-code|code=
<nowiki>> probplot(x, qdist = qnorm)</nowiki>
}}
[[Файл:E1071-probplot.svg|400px|центр]]
==== Пакет <code>gamlss</code> ==Многомерное нормальное распределение ==
{{r-code|code=
> histDistmeans <- c(x0, family 0, 0, 0) # средние для переменных> sigmas <- diag(length(means)) # ковариационная матрица> mx <- rmvnorm(100, mean = "NO"means, density sigma = TRUEsigmas)}}
== Примечания ==