Изменения

В качестве Нулевой гипотезой (<math>H_0</math> ) для всех нижеприведённых критериев является предположение, что «случайная величина <math>X</math> распределена нормально».

Для демонстрации работы функций, реализующий реализующих различные критерий критерии проверки принадлежности распределения нормальному закону сгенерируем вектор случайных чисел, имеющих стандартное нормальное распределение:

<syntaxhighlight lang{{r-code|code="rsplus"><nowiki>> x <- rnorm(n = 1001000)</syntaxhighlightnowiki>}}

=== Пакет <code>stats</code> Статистические критерии ===

В данном пакете реализованы две функции, которые позволяют осуществить проверку принадлежности R реализовано множество критериев проверки соответствия распределения нормальному закону.

* <code>shapiro.test</code> - критерий Шапиро - Уилка* <code>ks.test</code> - критерий Колмогорова - Смирнова: <code>ks.test(x, y = "pnorm")</code>=== Сравнительная таблица реализации критериев в пакетах ====

{| class="wide wikitable sortable" style="text-align: center"! Критерии !! {{r-package|stats|core= Пакет true}} !! {{r-package|nortest}} !! {{r-package|moments}} !! {{r-package|fBasics}} !! {{r-package|tseries}} !! {{r-package|lawstat}}|-| style="text-align: left" | Критерий Шапиро - Уилка || <code>nortestshapiro.test</code> || - || - || <code>shapiroTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Колмогорова - Смирнова || <code>ks.test</code><ref>Для оценки нормальности вызов выглядит следующим образом: <code>ks.test(x, y ="pnorm")</code>.</ref> || - || - || <code>ksnormTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Андерсона - Дарлинга || - || <code>ad.test</code> || - || <code>adTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Крамера - фон Мизеса || - || <code>cvm.test</code> || - || <code>cvmTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Лиллиефорса || - || <code>lillie.test</code> || - || <code>lillieTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий <math>\chi^2</math> Пирсона || - || <code>pearson.test</code> || - || <code>pchiTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Шапиро - Франчия || - || <code>sf.test</code> || - || <code>sfTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Д'Агостино || - || - || <code>agostino.test</code> || <code>dagoTest</code> || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Бонетта – Сайера || - || - || <code>bonett.test</code> || - || - || -|-| style="text-align: left" | Критерий Жарка - Бера || - || - || <code>jarque.test</code> || <code>jarqueberaTest</code> || <code>jarque.bera.test</code> || <code>rjb.test</code>|}

Перед использованием функций из данного пакета, его необходимо предварительно установить и загрузить: <syntaxhighlight lang="rsplus">> install.packages(pkgs = "nortest")> library(package = "nortest")</syntaxhighlight> В данный пакет входят следующие функции: * <code>ad.test</code> - критерий Андерсона - Дарлинга* <code>cvm.test</code> - критерий Крамера - фон Мизеса* <code>lillie.test</code> - критерий Лиллиефорса* <code>pearson.test</code> - критерий <math>\chi^2</math> Пирсона* <code>sf.test</code> - критерий Шапиро - Франчия Данные функции возвращают результат в виде S3-класса - <code>htest</code>. === Пакет <code>moments</code> === Перед использованием функций из данного пакета, его необходимо предварительно установить и загрузить: <syntaxhighlight lang="rsplus">> install.packages(pkgs = "moments")> library(package = "moments")</syntaxhighlight> В данный пакет входят следующие функции: * <code>agostino.test</code> {{r- критерий Д'Агостино* <code>bonett.test</code> - критерий Бонетта – Сайера* <code>jarque.test</code> - критерий Жарка-Бера Данные функции также возвращают результат в виде S3-класса - <code>htest</code>. === Пакет <code>fBasics</code> === В данном пакете не предлагается никакой оригинальной реализации критериев - код в основном заимствован из пакетов <code>stats</code>, <code>nortest</code>, <code>moments</code>. Данный пакет предлагает альтернативный вывод результатов в виде объекта S4-класса <code>fHTEST</code>, в том время как все предыдущие функции использовали S3-класс <code>htest</code>. Перед использованием функций из данного пакета, его необходимо предварительно установить и загрузить: <syntaxhighlight lang="rsplus">> install.packages(pkgs = "fBasics")> library(package = "|fBasics")</syntaxhighlight> Функция }} содержит также функцию <code>normalTest()</code> , которая является «обёрктой» для ряда функций из того же пакета - <code>fBasics</code>. Задать необходимый Необходимый критерий можно задать с помощью аргумента <code>method</code>. Доступны следующие критерии:

<syntaxhighlight lang{{r-code|code="rsplus"><nowiki>> normalTest(x, method = "sw")

</syntaxhighlightnowiki>}}

Помимо функции Пакет <code>normalTestlawstat</code> содержит также функцию <code>sj.test()</code> данный пакет включает в себя следующие функции:, которая является реализацией рабастного критерия нормальности, созданного на основа критерия Шапиро - Уилка.

* Пакет <code>shapiroTestTeachingDemos</code> - критерий Шапиро - Уилка* содержит функцию <code>ksnormTestSnowsPenultimateNormalityTest()</code> - , реализующую неописанный в литературе критерий Колмогорова - Смирнова<ref>. Данная функция вызывает <code>ks.test(xвозвращает только уровень статистической значимости, "pnorm")</code> для трёх альтернативных гипотез - двусторонней и двух одностороннихсвидетельствующий об отклонения распределения от нормального закона.</ref>* <code>jarqueberaTest</code> - критерий Жарка-Бера* <code>dagoTest</code> - критерий Д'Агостино* <code>adTest</code> - критерий Андерсона - Дарлинга* <code>cvmTest</code> - критерий Крамера - фон Мизеса* <code>lillieTest</code> - критерий Лиллиефорса* <code>pchiTest</code> - критерий Пирсона* <code>sfTest</code> - критерий Шапиро - Франчия

=== Пакет <code>TeachingDemos</code> == Применение функций к нескольким переменным =====

Перед использованием С помощью <code>apply</code>-функций из данного пакетаможно последовательно применить функцию к вектору, его списку или массиву. Прежде чем всего нам необходимо предварительно установить и загрузить:сформировать таблицу данных. С помощью функции <code>replicate()</code> сгенерируем 10 переменных, имеющих стандартное нормальное распределение, которые объединяются в класс <code>data.frame</code>.

<syntaxhighlight lang{{r-code|code="rsplus"><nowiki> install> DF <- data.packagesframe(pkgs replicate(n = "TeachingDemos")> library10, rnorm(package n = "TeachingDemos"100)))</syntaxhighlightnowiki>}}

{{r-code|code=== Пакет <codenowiki>tseries> str(DF)'data.frame': 100 obs. of 10 variables: $ X1 : num 1.051 1.08 -0.477 -1.396 3.423 ... $ X2 : num -0.602 2.29 -0.758 -1.615 -0.364 ... $ X3 : num 0.0559 -1.0117 0.5242 0.4105 -0.3191 ... $ X4 : num -0.0965 0.2006 0.29 0.7702 -0.0182 ... $ X5 : num -0.7074 -1.6111 0.3478 0.2504 0.0609 ... $ X6 : num -1.432 0.535 -0.932 0.581 -1.606 ... $ X7 : num -1.42407 -0.31827 -2.04648 -0.19856 0.00301 ... $ X8 : num 0.511 0.192 0.467 -1.308 2.496 ... $ X9 : num -0.8508 0.4481 -0.2828 -0.5464 0.0605 ... $ X10: num 1.421 0.408 1.254 -0.956 -1.91 ...</codenowiki> ===}}

Перед использованием функций из данного пакетаДля решения поставленной задачи можно воспользоваться функцией <code>sapply()</code>. Но прежде, его нам необходимо предварительно установить немного отформатировать формат вывода результатов нашей функции: нам нужно извлечь значения критерия и его уровень значимости, т.к. результат функции <code>shapiro.test()</code> содержит также информацию, которая не подлежит включению в итоговую таблицу, например, информация об используемом методе (критерии) и загрузитьуточнение характера альтернативной гипотезы. Вывод результатов тест Шапиро - Уилка выглядит следующим образом:

<syntaxhighlight lang{{r-code|code="rsplus"><nowiki> install> shapiro.packagestest(pkgs = "tseries"x)> library(package = "tseries")</syntaxhighlight>

только одну функцию, имеющую отношение к критериям проверки принадлежности распределения нормальному закону Shapiro- <code>jarque.bera.Wilk normality test</code>, которая является реализацией критерия Жарка-Бера. Данная функция возвращают результат в виде S3-класса - <code>htest</code>.

data: xW =0.9903, p-value == Пакет <code>lawstat0.6882</codenowiki> ===}}

Перед использованием функций из данного пакета, его необходимо предварительно установить и загрузитьСтруктура результата применения функции <code>shapiro.test()</code> представлена ниже:

<syntaxhighlight lang{{r-code|code="rsplus"><nowiki> install> str(shapiro.packagestest(pkgs = x))List of 4 $ statistic: Named num 0.99 ..- attr(*, "lawstatnames")= chr "W"> library $ p.value : num 0.688 $ method : chr "Shapiro-Wilk normality test" $ data.name: chr "x" - attr(package = *, "lawstatclass")= chr "htest"</syntaxhighlightnowiki>}}

В данный пакет входят следующие функцииКак видим, помимо значений критерия и уровня значимости здесь содержится информация о применяемом методе. Мы можем отфильтровать вывод следующим образом:

* <{{r-code>rjb.test</|code=<nowiki> > normTest <- критерий Жарка-Бераfunction (x) {* + res <code>sj- shapiro.test(x)+ return(c(res$statistic, p.value = res$p.value))+ }</codenowiki> - SJ-критерий}}

Данные Результат теперь будет выглядеть следующим образом: {{r-code|code=<nowiki>> normTest(x) W p.value 0.9903 0.6882</nowiki>}} Теперь можно использовать данную функцию при обработке столбцов нашей таблицы. {{r-code|code=<nowiki>> t(sapply(DF, normTest)) W p.valueX1 0.9831 0.2301X2 0.9936 0.9213X3 0.9800 0.1333X4 0.9829 0.2219X5 0.9874 0.4625X6 0.9862 0.3874X7 0.9839 0.2617X8 0.9833 0.2360X9 0.9915 0.7834X10 0.9808 0.1531</nowiki>}} Того же результата можно добиться и с помощью функции <code>lapply()</code><ref>По результатам сравнения производительности, данный вариант оказался чуть быстрее предыдущего.</ref>: {{r-code|code=<nowiki>> do.call(rbind, lapply(DF, normTest)) W p.valueX1 0.9831 0.2301X2 0.9936 0.9213X3 0.9800 0.1333X4 0.9829 0.2219X5 0.9874 0.4625X6 0.9862 0.3874X7 0.9839 0.2617X8 0.9833 0.2360X9 0.9915 0.7834X10 0.9808 0.1531</nowiki>}} ===== Применение функций к нескольким по группам ===== Добавим к нашей таблице группы испытуемых: {{r-code|code=<nowiki>> DF$GRP <- factor(sample(LETTERS[1:3], size = 100, replace = TRUE))</nowiki>}} Состав групп получился следующим: {{r-code|code=<nowiki>> table(DF$GRP) A B C 38 25 37 </nowiki>}} Рассчитаем значения критерия Шапиро - Уилка для первого столбца для каждоый группы испытуемых: {{r-code|code=<nowiki>> do.call(rbind, tapply(DF$X1, DF$GRP, normTest)) W p.valueA 0.9522 0.13281B 0.9607 0.28697C 0.9410 0.07256</nowiki>}} === Графические методы === Многие исследователи также возвращают результат используют графические методы для определения степени отклонения распределения от нормального закона. В R реализована возможность построения Q-Q графиков, гистограмм и кривых распределения плотностей вероятности. ==== Гистограмма ==== Гистограмма представляет собой графическое изображение зависимости частоты попадания элементов выборки от соответствующего интервала группировки. Построить гистограмму в виде S3R можно с помощью следующей команды: {{r-класса code|code=<nowiki>> hist(x)</nowiki>}} [[Файл:Graphics- hist.svg|400px|центр]] На гистограмме изображены абсолютные частоты. Также можно построить гистограмму, отражающую плотности вероятностей: {{r-code|code=<nowiki>> hist(x, freq = FALSE)</nowiki>}} [[Файл:Graphics-hist-probs.svg|400px|центр]] ==== График плотностей вероятности ==== ===== Пакет <code>hteststats</code>===== {{r-code|code=<nowiki>> plot(density(x))</nowiki>}} [[Файл:Stats-density.svg|400px|центр]] ===== Пакет <code>car</code> ===== {{r-code|code=<nowiki>> densityPlot(x)</nowiki>}} [[Файл:Car-densityPlot.svg|400px|центр]] ==== Гистограммы с наложением графика плотностей вероятнотси ==== ===== Пакет <code>stats</code> ===== {{r-code|code=<nowiki>> hist(x, freq = FALSE)> lines(density(x))</nowiki>}} [[Файл:Stats-hist-density.svg|400px|центр]] Теперь наложим на наш график кривую плотностей вероятности для нормального распределения: {{r-code|code=<nowiki>> xfit <- seq(min(x), max(x), length = 100) # Координаты по оси X> yfit <- dnorm(xfit, mean = mean(x), sd = sd(x)) # Вычисление координат по оси Y> hist(x, freq = FALSE)> lines(density(x), col = "red") # Накладываем кривую плотностей вероятности> lines(xfit, yfit, col = "blue") # Накладываем «нормальную» кривую</nowiki>}} [[Файл:Stats-density-compare.svg|400px|центр]] ===== Пакет <code>gamlss</code> ===== Более простой способ сравнение графиков плотностей вероятности представлен в функции <code>histDist</code> из пакета <code>gamlss</code>: {{r-code|code=<nowiki>> histDist(x, family = "NO", density = TRUE) Family: c("NO", "Normal") Fitting method: "nlminb"  Call: gamlssML(y = y, family = "NO", formula = x)  Mu Coefficients:[1] -0.0462Sigma Coefficients:[1] 0.023  Degrees of Freedom for the fit: 2 Residual Deg. of Freedom 998 Global Deviance: 2884 AIC: 2888 SBC: 2898</nowiki>}} [[Файл:Gamlss-histdist.svg|400px|центр]] С помощью аргумента <code>family</code> можно задать семейство распределений для подгонки и сравнения<ref>Более подробную информацию о доступных семействах распределений можно получить с помощью команды <code>help("gamlss.family")</code>.</ref>. ==== Q-Q график ==== Q-Q график (Q - квантиль) — это график, на котором квантили из двух распределений расположены относительно друг друга. Чем ближе точки на графике к диагональной прямой, тем ближе распределение исследуемой переменной к нормальному закону. Построение квантильных графиков в R реализовано в нескольких пакетах. ===== Пакет <code>stats</code> ===== Построение Q–Q plot с помощью пакета <code>stats</code> выглядит следующим образом: {{r-code|code=<nowiki>> qqnorm(x)> qqline(x)</nowiki>}} [[Файл:Stats-qqnorm.svg|400px|центр]] ===== Пакет <code>QTLRel</code> ===== Построение Q–Q plot с помощью пакета <code>QTLRel</code> выглядит следующим образом: {{r-code|code=<nowiki>> qqPlot(x, x = "norm")</nowiki>}} [[Файл:Qtlrel-qqplot.svg|400px|центр]] ===== Пакет <code>car</code> ===== Альтернативный вариант реализован в функции <code>qqPlot()</code> из пакета <code>car</code>: {{r-code|code=<nowiki>> qqPlot(x, distribution = "norm")</nowiki>}} [[Файл:Car-qqPlot.svg|400px|центр]] ===== Пакет <code>e1071</code> ===== Построение Q-Q plot можно осуществить с помощью функции <code>probplot</code> из пакета <code>e1071</code>: {{r-code|code=<nowiki>> probplot(x, qdist = qnorm)</nowiki>}} [[Файл:E1071-probplot.svg|400px|центр]]